자기 퍼텐셜

최근 수정 시각: (5년 전)
분류
목차
1. 개요2. 자기 벡터 퍼텐셜
2.1. 유일성 여부2.2. 방정식2.3. 자기 선속과의 관계2.4. 경계 조건2.5. 자기 쌍극자의 자기 벡터 퍼텐셜2.6. 관련 예제
3. 자기 스칼라 퍼텐셜4. 관련 문서

1. 개요 [편집]

Magnetic potential

전기장에서 퍼텐셜을 도입하였듯, 비슷하게 자기장에서도 퍼텐셜을 도입한 것이다.

이 문서에서는 정자기학 조건에서의 자기 퍼텐셜을 다루며, 정자기학에서 자기 퍼텐셜을 언급하면 거의 "자기 벡터 퍼텐셜"'을 말하며, 그 외에도 특정한 조건에서 정의되는 "자기 스칼라 퍼텐셜" 두 가지가 있다.

2. 자기 벡터 퍼텐셜 [편집]

자기장은 일반적으로 발산이 0인 비발산장이다. 즉,

∇⋅B=0 \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{B}=0

이때, 자기장은 어떤 벡터의 회전이라 가정할 수 있다. 그 벡터를 A\mathbf A라 하면

B=∇×A \displaystyle \mathbf{B}=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}

이며, 이것을 처음 식의 발산 연산에 대입하면 이것 또한 0인 것에서 그 타당성을 생각해볼 수 있다. 따라서 여기서 나온 벡터 A\mathbf A를 "자기 벡터 퍼텐셜"이라 하며, 줄여서 "벡터 퍼텐셜"이라 하기도 한다.

2.1. 유일성 여부 [편집]

이때, 어떤 스칼라 Φ\Phi에 그레이디언트 연산을 취했을 때,

A′≡A+∇Φ \displaystyle \mathbf{A'} \equiv \mathbf{A}+\boldsymbol{\nabla} \Phi

를 고려하자. 이때, 양변에 회전 연산을 취하면,

∇×A′=∇×A+∇×(∇Φ) \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A'} =\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}+\boldsymbol{\nabla} \times(\boldsymbol{\nabla} \Phi)

벡터 해석학적으로 우변의 제2항은 0이 되므로

∇×A′=∇×A \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A'} =\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}

이 되고, 두 퍼텐셜 A\mathbf A, A′\mathbf{A'}은 같은 장을 기술하는 퍼텐셜임을 알 수 있다. 이 논의를 통해, 어떤 자기장을 기술하는 자기 벡터 퍼텐셜은 여러 개 존재한다는 사실을 알 수 있다. 즉, 한 장을 기술하는 자기 벡터 퍼텐셜은 유일하지 않다.

2.2. 방정식 [편집]

앙페르 법칙에서

∇×B=μ0J \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu_{0} \mathbf{J}

임을 알 수 있었고, 자기 벡터 퍼텐셜을 이용하면

∇×(∇×A)=μ0J \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} ) = \mu_{0} \mathbf{J}

로 쓸 수 있다. 이때, 벡터 항등식을 사용하면

∇2A−∇(∇⋅A)=−μ0J \displaystyle \nabla^{2} \mathbf{A}- \boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}) = -\mu_{0} \mathbf{J}

로 쓸 수 있다. 이때, 정자기학에서는 쿨롱 게이지(Coulomb gauge)를 도입하여 ∇⋅A=0\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}=0으로 둔다. 따라서 다음과 같은 식으로 정리된다.

∇2A(r)=−μ0J(r) \displaystyle \nabla^{2} \mathbf{A(r)}= -\mu_{0} \mathbf{J(r)}

이때, 직교 좌표계에서 위 식은 아래와 같이 푸아송 방정식으로 나온다.

∇2Ai(r)=−μ0Ji(r)(i=x, y, z) \displaystyle \nabla^{2} A_{i}(\mathbf{r})= -\mu_{0} J_{i}(\mathbf{r}) \qquad (i=x,\,y,\,z)

이것은 전기 퍼텐셜을 기술하는 푸아송 방정식과 모양이 유사하므로 이것의 해는

Ai(r)=μ04π∫Ji(r′)ξ dV′(i=x, y, z) \displaystyle A_{i}(\mathbf{r})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \frac{J_{i}(\mathbf{r'})}{\xi}\,dV ' \qquad (i=x,\,y,\,z)

로 정리된다. 이때, ξ\xi는 분리 벡터의 크기이다. 또한, 각 성분의 합으로 아래와 같이 쓸 수 있음을 얻는다.

A(r)=μ04π∫J(r′)ξ dV′ \displaystyle \mathbf{A(r)}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \frac{\mathbf{J(r')}}{\xi}\,dV '

따라서, 위 방정식을 이용하면 자기 벡터 퍼텐셜을 구할 수 있다. 또한, 자기 벡터 퍼텐셜의 방향은 전류 밀도 방향과 같다는 것을 알 수 있다.

2.3. 자기 선속과의 관계 [편집]

어떤 면적 SS를 지나가는 자기 선속(Magnetic flux) FF는 아래와 같이 구할 수 있다.

F=∬SB⋅da \displaystyle F=\iint_{S} \mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}

이때, 자기 벡터 퍼텐셜을 이용하면

F=∬S(∇×A)⋅da \displaystyle F=\iint_{S} (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}) \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}

이고, 스토크스 정리를 사용하면, SS를 둘러싸는 폐곡선 CC에 대한 적분으로 바뀌고,

F=∮CA⋅dl \displaystyle F=\oint_{C} \mathbf{A} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l}

로 쓸 수 있음을 구할 수 있다. 따라서 자기 선속을 이용해서도 자기 벡터 퍼텐셜은 구할 수 있다.

2.4. 경계 조건 [편집]

파일:벡터퍼텐셜_경계 조건.png

위 그림과 같이 매질 I, II를 고려하자. 정자기학에서 쿨롱 게이지 조건

∇⋅A=0 \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A}=0

을 만족하므로 이것은

∯SA⋅da=0 \displaystyle \oiint_{S} \mathbf{A} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}=0

을 만족한다는 것과 동치이다. 따라서 SS를 윗면과 아랫면 모두 면적 AA이고 높이 hh인 원기둥으로 잡자. 이때, h→0h \rightarrow 0일 때, 옆면에 해당하는 영역의 적분 값은 상쇄된다. 따라서

∯SA⋅da=[A2⋅n^−A1⋅n^] l=0 \displaystyle \oiint_{S} \mathbf{A} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}=[\mathbf{A_{2}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}}-\mathbf{A_{1}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}}]\,l=0

이다. n^\hat{\mathbf{n}}은 영역 I에서 II를 향하며, 경계면에 수직한 벡터이다.

A1⋅n^=A2⋅n^ \displaystyle \mathbf{A_{1}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}}=\mathbf{A_{2}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}}

로 경계면을 가로지를 때, 자기 벡터 퍼텐셜의 수직 성분은 연속임을 알 수 있다.

이번엔

F=∮CA⋅dl \displaystyle F=\oint_{C} \mathbf{A} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l}

를 이용하자. 선적분 영역을 위 그림과 같이 잡고, h→0h \rightarrow 0일 때를 고려하자. 이 경우, 경계면을 가로지르는 영역에 대한 선적분 값은 상쇄된다. 따라서

∮CA⋅dl=[A2⋅t^−A1⋅t^] l \displaystyle \oint_{C} \mathbf{A} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l}=[\mathbf{A_{2}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}}-\mathbf{A_{1}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}}]\,l

이 된다. 이때, t^\hat{\mathbf{t}}는 경계면에 접하는 단위 벡터이다. 그런데, h→0h \rightarrow 0이라는 점에서 해당 폐곡선 안을 통과하는 자기 선속은 면적이 0으로 수렴하기 때문에, 적분 값은 0으로 수렴한다. 따라서

A2⋅t^−A1⋅t^=0 \displaystyle \mathbf{A_{2}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}}-\mathbf{A_{1}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}}=0

에서

A1⋅t^=A2⋅t^ \displaystyle \mathbf{A_{1}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}}=\mathbf{A_{2}}\boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}}

로 경계면을 가로지를 때, 자기 벡터 퍼텐셜의 접선 성분은 연속임을 알 수 있다.

따라서 두 성분이 모두 연속이므로, 위의 논의는 경계면을 가로지를 때 자기 벡터 퍼텐셜은 연속이어야 함을 얻는다. 즉, 경계면을 가로지를 때

A1=A2 \displaystyle \mathbf{A_{1}}=\mathbf{A_{2}}

를 만족하여야 한다.

2.5. 자기 쌍극자의 자기 벡터 퍼텐셜 [편집]

2.6. 관련 예제 [편집]

3. 자기 스칼라 퍼텐셜 [편집]

위의 자기 벡터 퍼텐셜은 자기장이 비발산장이기 때문에 정의될 수 있었다. 그러나 자기장도 특정한 조건에서는 비회전장을 만족하기 때문에 전기장처럼 스칼라 퍼텐셜을 도입할 수 있다. 앙페르 법칙

∇×B=μ0J \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu_{0} \mathbf{J}

에서 전류 밀도 J=0\mathbf{J}=0이 성립하는 영역에 한해선

∇×B=0 \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B} =0

으로 자기장 또한 비회전장이 된다. 따라서 장을 어떤 스칼라의 그레이디언트를 취하여 기술할 수 있다. 즉,

B=−μ0∇Φm \displaystyle \mathbf{B} =-\mu_{0} \boldsymbol{\nabla} \Phi_{m}

의 형태[1]로 기술할 수 있으며, 여기서 나온 스칼라 Φm\Phi_{m}를 "자기 스칼라 퍼텐셜"이라 한다.

4. 관련 문서 [편집]

[1] 앞에 붙은 μ0\mu_{0}는 자기장 세기 문서를 읽어보면 알 수 있다.

라이선스를 별도로 명시하지 않은 문서는 CC BY-NC-SA 2.0 KR에 따라 이용할 수 있습니다.
기여하신 문서의 저작권은 각 기여자에게 있으며, 각 기여자는 기여하신 부분의 저작권을 갖습니다.

문서의 기여자는 역사 탭에서 확인할 수 있습니다.
접두어의 N: - 나무위키 사용자, R: - 리그베다 위키의 사용자를 뜻합니다.
자세한 사항은 나무위키에서 동일한 문서의 역사를 참고하시기 바랍니다.